Materi Matematika Diskrit

         Dalam matematika diskrit sesungguhnya memiliki materi yang berbeda-beda (yang diajarkan) tiap universitas. Namun secara garis besar hampir sama dalam materi pokok. Ada yang dia ajarkan secara mendetail maupun ada yang di ajarkan secara garis besarnya saja.  

         Mengingat kasus di atas penulis mencoba membantu sedikit yang berkaitan dengan materi matematika diskrit. Semoga beberapa materi di bawah ini dapat membantu anda semua.

Di bawah ini beberapa materi terkait dengan Matematika diskrit semoga dapat bermanfaat.

untuk lebih jelasnya anda dapat mendownload dengan mengklik tilisan disini

1. Materi Matematika diskrit BAB I dapat anda download disini 
2. Materi Matematika diskrit BAB II dapat anda download disini 
3. 
   Materi Matematika diskrit BAB III dapat anda download disini
4. Materi Matematika diskrit BAB IV dapat anda download disini
5. Materi Matematika diskrit BAB V dapat anda download disini
6. Materi Matematika diskrit BAB VI dapat anda download disini

Aljabar Boolean II ( Lanjutan )

Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bⁿ ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai

                        f : Bⁿ ® B

yang dalam hal ini Bⁿ adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.

Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah

f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z

Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3

(x, y, z) ke himpunan {0, 1}. 

Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga f(1, 0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Aljabar Boolean

Misalkan terdapat

-          Dua operator biner: + dan ×

-          Sebuah operator uner: ’.

-          B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, ×, dan ’

-          0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.

Tupel

                        (B, +, ×, ’)

disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c Î B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:

1.      Closure:                      (i)  a + b Î B

                                                           (ii) a × b Î B

2.      Identitas:                     (i)  a + 0 = a

                                              (ii) a × 1 = a

3.      Komutatif:                  (i)  a + b = b + a

                                                          (ii)  a × b = b . a

4.      Distributif:                   (i)   a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

                                                           (ii)  a + (b × c) = (a + b) × (a + c)

5.      Komplemen:                (i)  a + a’ = 1

                                                           (ii)  a × a’ = 0

 

Matematika Diskrit BAB IV FUNGSI DISKRIT NUMERIK

BAB IV FUNGSI DISKRIT NUMERIK

 Author By : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA

4.1. FUNGSI NUMERIK

            Sebuah fungsi adalah sebuah relasi biner yang secara unik menugaskan kepada setiap anggota domain, satu dan hanya satu elemen kodomain. Fungsi diskrit numerik, atau singkatnya disebut fungsi numerik, adalah sebuah fungsi dengan himpunan bilangan cacah sebagai domain dan himpunan bilangan riil sebagai kodomainnya. Fungsi numerik ini menjadi pokok bahasan yang menarik karena sering digunakan dalam komputasi digital.

            Penyajian fungsi numerik pada prinsipnya bisa dilakukan dengan menuliskan daftar panjang harga-harganya, namun pada prakteknya dibutuhkan penyajian dalam bentuk yang tidak terlalu panjang. Contoh berikut menampilkan beberapa bentuk penyajian dari fungsi numerik.

Contoh 4.1. 
a_n = 7n³+1 , n ≥ 0.

 

Contoh 4.2.

Seseorang menyimpan uang sejumlah  Rp. 10.000.000,- pada bank dengan tingkat bunga  10% per tahun. Pada akhir dari tahun pertama, jumlah uang orang tersebut bertambah menjadi Rp. 11.000.000,-. Pada akhir tahun ke-dua, jumlah uangnya menjadi 12.100.000,- demikian seterusnya. Jika a_r menyatakan jumlah uang pada akhir tahun ke-r, maka fungsi a tersebut adalah             a_r = 10.000.000 (1,1)^r  , r ≥ 0.

Berapa jumlah uang orang tersebut setelah 30 tahun ?

Matematika Diskrit BAB III PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI

BAB III   PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI

Author By : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA

Misalkan A dan B sembarang himpunan. Penjumlahan |A|+|B| menghitung banyaknya elemen A yang tidak terdapat dalam B dan banyaknya elemen B yang tidak terdapat dalam A tepat satu kali, dan banyaknya elemen yang terdapat dalam   A ∩ B sebanyak dua kali. Oleh karena itu, pengurangan banyaknya elemen yang terdapat dalam A ∩ B  dari |A|+|B| membuat banyaknya anggota A Ç B dihitung tepat satu kali. Dengan demikian,

|A υ B|=  |A|+|B| - |A ∩ B|.

Generalisasi dari hal tersebut bagi gabungan dari sejumlah himpunan dinamakan prinsip inklusi-eksklusi.

Contoh 3.1

Dalam sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa yang menyukai matematika diskrit, 13 mahasiswa menyukai aljabar linier dan 8 orang diantaranya menyukai matematika diskrit dan aljabar linier. Berapa mahasiswa terdapat dalam kelas tersebut ?

Matematika Discrite BAB II KOMBINATORIK

 

2.1. PERMUTASI DAN KOMBINASI

Author By : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA

Sebuah permutasi dari sebuah himpunan obyek-obyek berbeda adalah penyusunan berurutan dari obyek-obyek tersebut.

Contoh 2.1.

Misalkan S = {1, 2, 3}. Susunan  3 1 2 adalah sebuah permutasi dari S. Susunan   3 2   adalah sebuah  permutasi-2  (2-permutation)  dari S

Banyak  permutasi-r  dari himpunan dengan n obyek berbeda dinyatakan sebagai P(n,r) dimana

P(n,r) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n – r + 1).

Jika  r  =  n , maka

P(n,n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n – n + 1).

= n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1

= n !

atau ditulis           Pn = n !

Contoh 2.2.

P(8,3)      =   8. 7. 6   =   336

Rumus umum     :    n . (n-1) . (n-2)  =

Matematika Diskrit_BAB I STRUKTUR ALJABAR (Ring, Fild)

1.4. SISTEM ALJABAR DUA OPERASI

            Sebuah sistem aljabar dengan dua operasi (S, +, *) dibentuk oleh sebuah himpunan, sebuah operasi aditif ‘+’ dan sebuah operasi multiplikatif ‘*’. Sistem aljabar dengan dua operasi yang akan dibahas di sini adalah ring dan field.

1.4.1. RING

             Sebuah sistem aljabar (S,+,*) adalah sebuah ring jika sifat-sifat berikut dipenuhi :

1. (S, +) merupakan group abel.
2. Himpunan S tertutup terhadap operasi *.
3. Operasi * bersifat asosiatif, untuk setiap  x, y, z Î S  berlaku  (x * y ) * z = x * ( y * z).
4. Untuk setiap  x, y, z Î S  berlaku hukum distributif kiri  x *( y + z) = (x * y) + (x * z) dan hukum distributif kanan (y + z) * x = (y * x) + (z * x).

Contoh 1.18.

Sistem aljabar (Z,+,x) merupakan sebuah ring.

Jika kedua operasi biner pada ring (S,+,*) bersifat komutatif, maka ring tersebut merupakan ring komutatif.

Matematika Diskrit_BAB I STRUKTUR ALJABAR(operasi biner, sifat o.b,)

 

Matematika Diskrit

BAB I STRUKTUR ALJABAR

Disusun Oleh :

Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA.

1.1. OPERASI BINER

Operasi biner pada himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari S x S kepada S. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, x, *, · , Å(arti lambang sama dengan, + didalam lingkaran) , Ä(arti lambang sama dengan, x di dalam lingkaran) , dan sebagainya. Hasil dari sebuah operasi, misalnya Ä , pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a Ä b.

Contoh 1.1.

Operasi berikut adalah beberapa contoh operasi biner :

-. Operasi pembagian pada bilangan riil.

-. Warna rambut anak yang ditentukan oleh warna rambut orang tuanya.

-. Operasi biner Å yang didefinisikan sebagai   a Å b = a + b – 2ab.

1.2. SIFAT OPERASI BINER

Sifat-sifat yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.

Misalkan  *  dan  Å  adalah operasi biner.  Operasi * dikatakan :

• KOMUTATIF ,        jika  a * b = b * a, untuk setiap   a, b.
• ASOSIATIF,           jika  (a * b) * c  = a * (b * c), untuk setiap   a, b, c.
• Mempunyai :
  • IDENTITAS, jika terdapat  e  sedemikian hingga a * e = e * a = a, untuk setiap a.
  • IDENTITAS KIRI, jika terdapat e₁ sedemikian hingga e₁ * a = a, untuk setiap a.
  • IDENTITAS KANAN, jika terdapat e₂ sedemikian hingga a * e₂ = a, untuk setiap a.
  • Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap  a  terdapat  a^-1  sedemikian hingga      a * a^-1 = a^-1 * a = e, dimana  e adalah elemen identitas untuk operasi  *. a^-1 disebut invers dari elemen  a.
• DISTRIBUTIF terhadap operasi  Å , jika untuk setiap a, b, c  berlaku  a * (b Å c ) = ( a * b) Å (a * c)  dan  (b Å c ) * a = ( b * a) Å (c * a).

Matematika Diskrit_BAB I STRUKTUR ALJABAR (subgroup siklik, normal)

1.3.5. SUBGROUP SIKLIK

            Misalkan (G,*) sebuah group dengan elemen identitas e Î G. Jika a Î G, maka subgroup siklik yang dibangun oleh  a  adalah himpunan

                                           gp(a)   = { ... , a^-2 , a^-1 , a⁰ , a¹ , a² , ... }

                                                      = { aⁿ | n Î Z }.

Dimana a⁰ = e. Dalam hal ini berlaku pula hukum eksponen, a^m * aⁿ = a^m+n untuk m,nÎZ. Sebagai contoh,  a⁴ * a² = a⁶ ,  a¹ * a¹ = a² .

            Untuk  n Ï Z₊ , aⁿ dapat dicari dengan mengingat bahwa a⁰ = e dan hukum eksponen a⁰ = a¹ * a^-1.  Berdasarkan kedua hal tersebut, maka  a^-1 adalah  invers dari  a  untuk operasi * dan  a^-2 , a^-3 dan seterusnya dapat dicari.

Order dari subgroup siklik gp(a) = { aⁿ | n Î Z } adalah integer positif  m  terkecil sedemikian hingga  a^m = e.

Contoh 1.13.

Perhatikan group (Z₄, Å) dari contoh 1.12. di atas. Elemen identitas pada group tersebut adalah 0. Subgroup siklik yang dibangun oleh  2 Î Z₄ adalah gp(2) = { 2ⁿ | n Î Z } = {0, 2}.  Order dari gp(2) tersebut adalah 2.

            Jika terdapat  x Î G sedemikian hingga  gp(x) = G, maka group G disebut group siklik dan  elemen  x  tersebut dinamakan generator dari G.

Contoh 1.14.

Perhatikan group (Z₄,Å) dari contoh 1.12. Subgroup siklik yang dibangun oleh  1 Î Z₄ adalah gp(1) = { 1ⁿ | n Î Z } = {0, 1, 2, 3}. Oleh karena gp(1) = Z₄, maka (Z₄,Å) merupakan group siklik dan 1 merupakan generator.

Matematika Diskrit_BAB I STRUKTUR ALJABAR (semi group, monoid, group)

1.3. SISTEM ALJABAR SATU OPERASI

            Sistem aljabar satu operasi  (S,*) dibentuk oleh sebuah himpunan dan sebuah operasi yang didefinisikan terhadapnya. Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki, sistem aljabar satu operasi dapat dibedakan menjadi beberapa jenis seperti yang akan diuraikan berikut ini.

1.3.1. SEMIGROUP

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan semigroup, jika

1. Himpunan S tertutup di bawah operasi *.
2. Operasi * bersifat asosiatif.

Contoh 1.5.

(Z,+) merupakan sebuah semigroup Jika operasi biner pada semigroup (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka semigroup (S,*) disebut juga semigroup abel.

Contoh 1.6.

(Z,+) merupakan sebuah semigroup abel

1.3.2. MONOID

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan monoid, jika