Matematika Discrite BAB II KOMBINATORIK

 

2.1. PERMUTASI DAN KOMBINASI

Author By : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA

Sebuah permutasi dari sebuah himpunan obyek-obyek berbeda adalah penyusunan berurutan dari obyek-obyek tersebut.

Contoh 2.1.

Misalkan S = {1, 2, 3}. Susunan  3 1 2 adalah sebuah permutasi dari S. Susunan   3 2   adalah sebuah  permutasi-2  (2-permutation)  dari S

Banyak  permutasi-r  dari himpunan dengan n obyek berbeda dinyatakan sebagai P(n,r) dimana

P(n,r) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n – r + 1).

Jika  r  =  n , maka

P(n,n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n – n + 1).

= n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1

= n !

atau ditulis           Pn = n !

Contoh 2.2.

P(8,3)      =   8. 7. 6   =   336

Rumus umum     :    n . (n-1) . (n-2)  =

Sebuah kombinasi-r elemen-elemen dari sebuah himpunan adalah pemilihan tak berurutan (tanpa memperhatikan urutan)  r  elemen dari himpunan tersebut.

Contoh 2.3.

Jika S = {1, 2, 3, 4}, susunan { 1, 3, 4 } adalah sebuah kombinasi-3 dari S.

Banyaknya kombinasi-r (r-combinations) dari sebuah himpunan dengan n obyek berbeda dinyatakan sebagai  C(n,r)  atau

Rumus umum     :

Contoh 2.4.

Misalkan   S = {1, 2, 3, 4}.

Kombinasi-4 dari S adalah { 1, 2, 3, 4 }   ;C(4,4) = 1.

Kombinasi-3 dari S adalah { 1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}   ;  C(4,3) = 4.

Tentukan C(4,2) dan C(4,1).

Soal Latihan 2.1.

1.    Tunjukkan bahwa  P(n,n-1) = P(n,n).

2.    Nomor telephon internal dalam sebuah kampus terdiri dari lima angka dimana angka pertama tidak sama dengan nol. Banyaknya nomor telephon berbeda yang dapat disusun di kampus tersebut adalah ......... .

3.    Pada sebuah lingkungan RT, penduduknya berencana menyelenggarakan acara peringatan kemerdekaan Indonesia. Demi lancarnya kelangsungan acara tersebut, mereka bersepakat untuk menyusun sebuah kepanitiaan yang beranggotakan 12 orang. Jika dalam lingkungan tersebut terdapat 16 pasangan suami istri, berapa pilihan yang mereka miliki untuk membentuk kepanitiaan yang beranggotakan 4 wanita dan 8 pria ?

Soal Latihan 2.2.

1.    Sebuah himpunan yang tidak kosong dan mengandung  26  anggota memiliki himpunan bagian yang mengandung 6 anggota sebanyak  ............ .

2.    Tunjukkan bahwa   C(n,n-r)  =  C(n,r) .

Soal Latihan 2.3.

1.  Seorang mahasiswa harus menjawab 8 dari 10 soal ujian Matematika  Diskrit.

1. Berapa banyak pilihan yang ia miliki ?
2. Berapa banyak pilihan yang ia miliki jika ia harus menjawab 3 soal pertama.

2.  Jika  P (n,k)  menyatakan permutasi  k  dari  n  obyek   dan  C (n,k)   menyatakan kombinasi  k  dari  n   obyek , maka pernyataan yang benar adalah :

a.  C (n ,k ) – P (n ,k ) =  ½ C (n ,k ).

b.  C (n ,k ) =  P (n ,k ) . P (k ,k ).

c.  P (n ,k ) =  C (n ,k ) . P (k ,k ).

d.  P (n , n – k ) = C (n ,n – k  ) P (k  ,k).

2.2. KOMBINASI PADA HIMPUNAN DENGAN PENGULANGAN

Sebuah himpunan disebut himpunan ganda (himpunan dengan pengulangan) jika setiap anggotanya berulang.

Contoh 2.5.

1. A = { 3.a,  2.b,  5.c } adalah sebuah himpunan dari 3 elemen berbeda dengan pengulangan hingga.
2. B = { ~.3,  ~.5,  ~.7, ~.9 } adalah sebuah himpunan dari empat elemen berbeda dengan pengulangan tak hingga.
3. C =  { ~.p,  10.q,  3.r, ~.s } adalah sebuah himpunan dari empat elemen berbeda dengan pengulangan.

Misalkan A sebuah himpunan ganda berpengulang tak hingga dengan k  anggota berbeda. Banyaknya kombinasi-r  pada  A  dinyatakan sebagai :

Contoh 2.6.

Diketahui  S = { ~.a } . Banyaknya kombinasi-5 pada S adalah :

Soal Latihan 2.4.

1.    Tentukan kombinasi-5  dari  B = { ~.a, ~.b} .

2.    Banyaknya kombinasi-8  dari  C = { ~.a, ~.b, ~.c } .

3.    Banyaknya kombinasi-8 dari himpunan { ~.p, ~.q, ~.r }  yang mengandung paling sedikit 4   buah  q   adalah ........... .

4.    Hitung banyaknya kombinasi 10 dari himpunan { ~.1, ~.2, ~.3, ~.4 } yang

a. mengandung paling sedikit 4 buah 3.

b. mengandung paling sedikit 5 buah 2.

c. mengandung paling sedikit 4 buah 3  dan  5 buah 2.

d. tidak mengandung 2  dan  3.