Matematika Diskrit_BAB I STRUKTUR ALJABAR (semi group, monoid, group)

1.3. SISTEM ALJABAR SATU OPERASI

            Sistem aljabar satu operasi  (S,*) dibentuk oleh sebuah himpunan dan sebuah operasi yang didefinisikan terhadapnya. Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki, sistem aljabar satu operasi dapat dibedakan menjadi beberapa jenis seperti yang akan diuraikan berikut ini.

1.3.1. SEMIGROUP

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan semigroup, jika

1. Himpunan S tertutup di bawah operasi *.
2. Operasi * bersifat asosiatif.

Contoh 1.5.

(Z,+) merupakan sebuah semigroup Jika operasi biner pada semigroup (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka semigroup (S,*) disebut juga semigroup abel.

Contoh 1.6.

(Z,+) merupakan sebuah semigroup abel

1.3.2. MONOID

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan monoid, jika

1. Himpunan S tertutup di bawah operasi * .
2. Operasi * bersifat asosiatif.
3. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi * .

Contoh 1.7.

(Z,+) merupakan sebuah monoid dengan elemen identitas penjumlahan .

Jika operasi biner pada monoid (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka monoid (S,*) disebut juga monoid abel.

Contoh 1.8.

Sistem aljabar (Z,+) merupakan sebuah monoid abel

1.3.3. GROUP

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan monoid, jika

1. Himpunan S tertutup di bawah operasi * .
2. Operasi * bersifat asosiatif.
3. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi * .
4. Setiap anggota S memiliki  invers untuk operasi * dan invers tersebut merupakan anggota S  juga.

Contoh 1.9.

(Z,+) merupakan sebuah group, Jika operasi biner pada group (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka group (S,*) disebut juga group abel.

Contoh 1.10.

Sistem aljabar (Z,+) merupakan sebuah group abel

Soal Latihan 1.2.

1. Tunjukkan bahwa himpunan bilangan kelipatan dua membentuk group di bawah operasi penjumlahan.
2. Misalkan (A,*) sebuah semigroup dan a sebuah anggota A. Pada himpunan A tersebut didefinisikan operasi biner  dimana  x  y = x * a * y. Tunjukkan bahwa operasi  tersebut bersifat asosiatif.
3. Misalkan (A,*) sebuah semigroup komutatif. Tunjukkan bahwa jika   a * a = a dan b * b = b, maka  (a * b) * (a * b) = a * b.