Matematika Discrite BAB II KOMBINATORIK

 

2.1. PERMUTASI DAN KOMBINASI

Author By : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA

Sebuah permutasi dari sebuah himpunan obyek-obyek berbeda adalah penyusunan berurutan dari obyek-obyek tersebut.

Contoh 2.1.

Misalkan S = {1, 2, 3}. Susunan  3 1 2 adalah sebuah permutasi dari S. Susunan   3 2   adalah sebuah  permutasi-2  (2-permutation)  dari S

Banyak  permutasi-r  dari himpunan dengan n obyek berbeda dinyatakan sebagai P(n,r) dimana

P(n,r) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n – r + 1).

Jika  r  =  n , maka

P(n,n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n – n + 1).

= n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1

= n !

atau ditulis           Pn = n !

Contoh 2.2.

P(8,3)      =   8. 7. 6   =   336

Rumus umum     :    n . (n-1) . (n-2)  =

Matematika Diskrit_BAB I STRUKTUR ALJABAR (Ring, Fild)

1.4. SISTEM ALJABAR DUA OPERASI

            Sebuah sistem aljabar dengan dua operasi (S, +, *) dibentuk oleh sebuah himpunan, sebuah operasi aditif ‘+’ dan sebuah operasi multiplikatif ‘*’. Sistem aljabar dengan dua operasi yang akan dibahas di sini adalah ring dan field.

1.4.1. RING

             Sebuah sistem aljabar (S,+,*) adalah sebuah ring jika sifat-sifat berikut dipenuhi :

1. (S, +) merupakan group abel.
2. Himpunan S tertutup terhadap operasi *.
3. Operasi * bersifat asosiatif, untuk setiap  x, y, z Î S  berlaku  (x * y ) * z = x * ( y * z).
4. Untuk setiap  x, y, z Î S  berlaku hukum distributif kiri  x *( y + z) = (x * y) + (x * z) dan hukum distributif kanan (y + z) * x = (y * x) + (z * x).

Contoh 1.18.

Sistem aljabar (Z,+,x) merupakan sebuah ring.

Jika kedua operasi biner pada ring (S,+,*) bersifat komutatif, maka ring tersebut merupakan ring komutatif.

Matematika Diskrit_BAB I STRUKTUR ALJABAR(operasi biner, sifat o.b,)

 

Matematika Diskrit

BAB I STRUKTUR ALJABAR

Disusun Oleh :

Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA.

1.1. OPERASI BINER

Operasi biner pada himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari S x S kepada S. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, x, *, · , Å(arti lambang sama dengan, + didalam lingkaran) , Ä(arti lambang sama dengan, x di dalam lingkaran) , dan sebagainya. Hasil dari sebuah operasi, misalnya Ä , pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a Ä b.

Contoh 1.1.

Operasi berikut adalah beberapa contoh operasi biner :

-. Operasi pembagian pada bilangan riil.

-. Warna rambut anak yang ditentukan oleh warna rambut orang tuanya.

-. Operasi biner Å yang didefinisikan sebagai   a Å b = a + b – 2ab.

1.2. SIFAT OPERASI BINER

Sifat-sifat yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.

Misalkan  *  dan  Å  adalah operasi biner.  Operasi * dikatakan :

• KOMUTATIF ,        jika  a * b = b * a, untuk setiap   a, b.
• ASOSIATIF,           jika  (a * b) * c  = a * (b * c), untuk setiap   a, b, c.
• Mempunyai :
  • IDENTITAS, jika terdapat  e  sedemikian hingga a * e = e * a = a, untuk setiap a.
  • IDENTITAS KIRI, jika terdapat e₁ sedemikian hingga e₁ * a = a, untuk setiap a.
  • IDENTITAS KANAN, jika terdapat e₂ sedemikian hingga a * e₂ = a, untuk setiap a.
  • Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap  a  terdapat  a^-1  sedemikian hingga      a * a^-1 = a^-1 * a = e, dimana  e adalah elemen identitas untuk operasi  *. a^-1 disebut invers dari elemen  a.
• DISTRIBUTIF terhadap operasi  Å , jika untuk setiap a, b, c  berlaku  a * (b Å c ) = ( a * b) Å (a * c)  dan  (b Å c ) * a = ( b * a) Å (c * a).

Matematika Diskrit_BAB I STRUKTUR ALJABAR (subgroup siklik, normal)

1.3.5. SUBGROUP SIKLIK

            Misalkan (G,*) sebuah group dengan elemen identitas e Î G. Jika a Î G, maka subgroup siklik yang dibangun oleh  a  adalah himpunan

                                           gp(a)   = { ... , a^-2 , a^-1 , a⁰ , a¹ , a² , ... }

                                                      = { aⁿ | n Î Z }.

Dimana a⁰ = e. Dalam hal ini berlaku pula hukum eksponen, a^m * aⁿ = a^m+n untuk m,nÎZ. Sebagai contoh,  a⁴ * a² = a⁶ ,  a¹ * a¹ = a² .

            Untuk  n Ï Z₊ , aⁿ dapat dicari dengan mengingat bahwa a⁰ = e dan hukum eksponen a⁰ = a¹ * a^-1.  Berdasarkan kedua hal tersebut, maka  a^-1 adalah  invers dari  a  untuk operasi * dan  a^-2 , a^-3 dan seterusnya dapat dicari.

Order dari subgroup siklik gp(a) = { aⁿ | n Î Z } adalah integer positif  m  terkecil sedemikian hingga  a^m = e.

Contoh 1.13.

Perhatikan group (Z₄, Å) dari contoh 1.12. di atas. Elemen identitas pada group tersebut adalah 0. Subgroup siklik yang dibangun oleh  2 Î Z₄ adalah gp(2) = { 2ⁿ | n Î Z } = {0, 2}.  Order dari gp(2) tersebut adalah 2.

            Jika terdapat  x Î G sedemikian hingga  gp(x) = G, maka group G disebut group siklik dan  elemen  x  tersebut dinamakan generator dari G.

Contoh 1.14.

Perhatikan group (Z₄,Å) dari contoh 1.12. Subgroup siklik yang dibangun oleh  1 Î Z₄ adalah gp(1) = { 1ⁿ | n Î Z } = {0, 1, 2, 3}. Oleh karena gp(1) = Z₄, maka (Z₄,Å) merupakan group siklik dan 1 merupakan generator.

Matematika Diskrit_BAB I STRUKTUR ALJABAR (semi group, monoid, group)

1.3. SISTEM ALJABAR SATU OPERASI

            Sistem aljabar satu operasi  (S,*) dibentuk oleh sebuah himpunan dan sebuah operasi yang didefinisikan terhadapnya. Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki, sistem aljabar satu operasi dapat dibedakan menjadi beberapa jenis seperti yang akan diuraikan berikut ini.

1.3.1. SEMIGROUP

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan semigroup, jika

1. Himpunan S tertutup di bawah operasi *.
2. Operasi * bersifat asosiatif.

Contoh 1.5.

(Z,+) merupakan sebuah semigroup Jika operasi biner pada semigroup (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka semigroup (S,*) disebut juga semigroup abel.

Contoh 1.6.

(Z,+) merupakan sebuah semigroup abel

1.3.2. MONOID

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan monoid, jika

Menggabungkan beberapa partisi harddisk tanpa software di windows 7

author by : http://rahmabasel.blogspot.com/2010/06/menggabungkan-beberapa-partisi-harddisk.html

Pada kesempatan kali ini saya akan menulis cara untuk menggabungkan beberapa partisi menjadi satu partisi tanpa software di windows 7. Langsung saja berikut ini langkah-langkahnya :

1. Backup dulu data yang ada di partisi yang mau dimerger atau digabung.
2. Klik kanan [computer] pilih [manage]
3. Pada jendela “computer management”, pilih [storage] kemudian pilih [disk management]. Disebelah kanan jendela tampak sederetan partisi yang telah ada.
   

4. Klik kanan partisi yang mau di merger atau digabung, pilih [delete volume]. (dimaksudkan untuk menjadikan partisi tadi menjadi free space)
   

5. Muncul konfirmasi delete volume. Jika data anda sudah di backup, maka pilih saja [yes], kalau belum klik [no] kemudian backup dulu data anda. dan ulangi lagi langkah-langkahnya.
   
6. Sekarang partisi yang mau di merger atau digabung sudah menjadi free space.
   

7. Pilih partisi yang akan ditambah volumenya, kemudian klik kanan dan pilih [extend volume].
   

8. Muncul wizard extend volume, klik [next].
   
9. Muncul extend volume. Disini atur volume free space yang mau ditambahkan. Gambar dibawah menunjukkan semua free space ditambahkan. jika sudah klik [next]
   

10. Muncul completing the extend volume wizard, klik [finish].
    
11. Sekarang partisi telah ditambahkan atau digabung, alias di merger, otomatis volumenya bertambah sesuai dengan free space yang ditambahkan.
    

Finish............

CARA MEMBUAT APLIKASI PORTABLE SECARA MANUAL

Author by : http://jalanbelakang.blogspot.com/2010/04/cara-membuat-aplikasi-portable-secara.html

Berikut ini adalah cara untuk membuat aplikasi portable secara manual, software yang dibutuhkan hanyala winrar. Ok langsung saja, ne caranya:

1. Tentukan file program yang akan dibuat portable, berikut file pendukungnya (*.dll, *.ini, dsb, beserta folder2nya).

2. Buka notepad, ketikkan nama file program (*.exe) yang akan dibuat portabel (ex:Artmoney.exe), save dengan nama "launch.bat" (tanpa tanda kutip), save ke dalam satu direktori program yang akan dibuat portable.


3. Pilih semua file program (ctrl+a), berikut file pendukungnya (*.dll, *.ini, dsb, beserta folder2nya), ditambah dengan file "launch.bat yang baru saja dibuat. klik kanan, pilih add to archive.

4. aktifkan pilihan create sfx archive


5. pilih tab comment,
masukkan perintah berikut ini
Setup=Launch.bat
TempMode
Silent=1
Overwrite=1

6. klik ok, dah selesai....
7. Cek Program yang telah dibuat itu di PC lain, kalau ngga jalan, berarti memang program tsb memang nggak bisa jadi portabel.

UNDERSTANDING ICT IN EDUCATION 1.3

1.3     IDENTIFY THE TARGET STUDENT OUTCOMES THAT RESULT FROM IMPLEMENTING AN ICT-CFT-SUPPORTED LEARNING EXPERIENCE

SCOPING STATEMENT

This is the first stage of the three-stage ICT-CFT, so students take first steps towards becoming: better-informed, more motivated, investigative, aware of new sources of information, exposed to different perspectives, able to use ICT and have experience of using computer peripherals, collaborative with each other, reflective and able to solve problems, more open-minded etc.  Generally setting the groundwork for the next two stages.

NOTE: This objective  is student-centred

TASK COMPONENTS

Recognize the benefits for student outcomes of using the Technology Literacy approach (listing, analyzing, discussing the benefits). Visualize how ICT-CFT could be implemented in their own teaching environment and the benefits that would result. Develop student ownership of their ICT use to promote student reflection and interest in expanding student’s own ICT use.

TASK FREQUENCY, IMPORTANCE, DIFFICULTY AND OCCURRENCE

Daily, critical, difficult  and this task is sched- uled or planned for.

TASK TOOLS

ICT-CFT documents  and any related resources.

OBSTACLES

Lack of creativity in being able to visualize student benefits. 

 Fear of change.  

ICT-CFT publications not available in local languages. Lack of awareness of country’s support for ICT-CFT. Local opposition/lack of support for ICT-CFT. Budget restrictions