Matematika Diskrit BAB IV FUNGSI DISKRIT NUMERIK

BAB IV FUNGSI DISKRIT NUMERIK

 Author By : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA

4.1. FUNGSI NUMERIK

            Sebuah fungsi adalah sebuah relasi biner yang secara unik menugaskan kepada setiap anggota domain, satu dan hanya satu elemen kodomain. Fungsi diskrit numerik, atau singkatnya disebut fungsi numerik, adalah sebuah fungsi dengan himpunan bilangan cacah sebagai domain dan himpunan bilangan riil sebagai kodomainnya. Fungsi numerik ini menjadi pokok bahasan yang menarik karena sering digunakan dalam komputasi digital.

            Penyajian fungsi numerik pada prinsipnya bisa dilakukan dengan menuliskan daftar panjang harga-harganya, namun pada prakteknya dibutuhkan penyajian dalam bentuk yang tidak terlalu panjang. Contoh berikut menampilkan beberapa bentuk penyajian dari fungsi numerik.

Contoh 4.1. 
a_n = 7n³+1 , n ≥ 0.

 

Contoh 4.2.

Seseorang menyimpan uang sejumlah  Rp. 10.000.000,- pada bank dengan tingkat bunga  10% per tahun. Pada akhir dari tahun pertama, jumlah uang orang tersebut bertambah menjadi Rp. 11.000.000,-. Pada akhir tahun ke-dua, jumlah uangnya menjadi 12.100.000,- demikian seterusnya. Jika a_r menyatakan jumlah uang pada akhir tahun ke-r, maka fungsi a tersebut adalah             a_r = 10.000.000 (1,1)^r  , r ≥ 0.

Berapa jumlah uang orang tersebut setelah 30 tahun ?

4.2. MANIPULASI FUNGSI NUMERIK

            Jumlah dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada n tertentu sama dengan jumlah harga-harga dari kedua fungsi numerik pada  n.

Contoh 4.3.

Jika diketahui   a_n = 2ⁿ, n ≥ 0,              b_n = 5, n ≥ 0,    dan    c_n = a_n + b_n  ,

maka  c_n = 2ⁿ+5, n ≥ 0.

Hasil kali (produk) dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada  n  tertentu sama dengan hasil kali harga-harga dari kedua fungsi numerik pada  n.

Contoh 4.4.

Jika diketahui   a_n = 2ⁿ, n ≥ 0,    b_n = 5, n ≥ 0 dan d_n = a_n . b_n  ,

maka   d_n = 5(2ⁿ), n ≥ 0

Contoh 4.5.

Misalkan

Tentukan  t_n = p_n + q_n  ,    dan   v_n = p_n . q_n .

Jawab :

Misalkan  a_n adalah sebuah fungsi numerik dan i  adalah sebuah integer positif. Kita gunakan Sⁱa untuk menyatakan fungsi numerik yang nilainya 0 pada n = 0,1,…, (i-1)   dan  nilainya sama dengan  a_n-i pada   n ³ i.

Contoh 4.6. 

Misalkan  b_n = 2ⁿ , n ³ 0  dan  c_n = S⁴b ,  maka :

 

Misalkan  a_n adalah sebuah fungsi numerik dan i  adalah sebuah integer positif. Kita gunakan S^-ia untuk menyatakan fungsi numerik yang nilainya sama dengan a _n+i   pada  n ³ 0.

S^-ia = a _n+i   ,    n ³ 0

Contoh 4.7.

Misalkan  b_n = 2ⁿ , n ³ 0  dan     d_n = S^-5 b  ,  maka     d_n = 2ⁿ⁺⁵  ,  n ³ 0

Beda maju (forward difference) dari sebuah fungsi numerik  a_n  adalah sebuah fungsi numerik yang dinyatakan dengan   Da , dimana harga  Da  pada n sama dengan harga    a_n+1 - a_n .

Da = a_n+1 - a_n  ,   n ³ 0.

Beda ke belakang (backward difference) dari sebuah fungsi numerik  a_n  adalah sebuah fungsi numerik dinyatakan dengan Ña , dimana harga Ña pada n = 0  sama dengan harga a₀  dan  harga  Ña  pada n ³ 1 sama dengan  a_n - a_n-1 .

Contoh 4.8.

Misalkan  b_n = 2ⁿ , n ³ 0  dan    e_n = Db,  maka     e_n = 2ⁿ ,  n ³ 0

Contoh 4.9_.

Misalkan  b_n = 2ⁿ , n ³ 0  dan    f_n = Ñb,  maka:

Soal Latihan 4.

1.        Diketahui  f₁ = -2 ,  f₂ = 4 , f₃ = -8 , f₄ = 10  dst. Tentukan  f_n .

2.        Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 15 meter. Bola tersebut selalu memantul dan mencapai ketinggian sepertiga dari ketinggian sebelumnya. Jika  h_t menyatakan ketinggian yang dicapai bola setelah pantulan ke-t, tentukan fungsi h_t tersebut.

3.        Diketahui fungsi numerik   

Tentukan :            a.  S² a  dan   S^-2 a.

                             b.  Ña   dan  Da .