Matematika Diskrit_BAB I STRUKTUR ALJABAR (subgroup siklik, normal)

1.3.5. SUBGROUP SIKLIK

            Misalkan (G,*) sebuah group dengan elemen identitas e Î G. Jika a Î G, maka subgroup siklik yang dibangun oleh  a  adalah himpunan

                                           gp(a)   = { ... , a^-2 , a^-1 , a⁰ , a¹ , a² , ... }

                                                      = { aⁿ | n Î Z }.

Dimana a⁰ = e. Dalam hal ini berlaku pula hukum eksponen, a^m * aⁿ = a^m+n untuk m,nÎZ. Sebagai contoh,  a⁴ * a² = a⁶ ,  a¹ * a¹ = a² .

            Untuk  n Ï Z₊ , aⁿ dapat dicari dengan mengingat bahwa a⁰ = e dan hukum eksponen a⁰ = a¹ * a^-1.  Berdasarkan kedua hal tersebut, maka  a^-1 adalah  invers dari  a  untuk operasi * dan  a^-2 , a^-3 dan seterusnya dapat dicari.

Order dari subgroup siklik gp(a) = { aⁿ | n Î Z } adalah integer positif  m  terkecil sedemikian hingga  a^m = e.

Contoh 1.13.

Perhatikan group (Z₄, Å) dari contoh 1.12. di atas. Elemen identitas pada group tersebut adalah 0. Subgroup siklik yang dibangun oleh  2 Î Z₄ adalah gp(2) = { 2ⁿ | n Î Z } = {0, 2}.  Order dari gp(2) tersebut adalah 2.

            Jika terdapat  x Î G sedemikian hingga  gp(x) = G, maka group G disebut group siklik dan  elemen  x  tersebut dinamakan generator dari G.

Contoh 1.14.

Perhatikan group (Z₄,Å) dari contoh 1.12. Subgroup siklik yang dibangun oleh  1 Î Z₄ adalah gp(1) = { 1ⁿ | n Î Z } = {0, 1, 2, 3}. Oleh karena gp(1) = Z₄, maka (Z₄,Å) merupakan group siklik dan 1 merupakan generator.

1.3.6. SUBGROUP NORMAL

Misalkan (G,*) sebuah group dan (H,*) merupakan subgroup dari group (G,*). Koset kiri dari H adalah himpunan  a*H = { a * h |  " h Î H } dan koset kanan dari H adalah    H*a = { h * a |  " h Î H }, untuk setiap a Î G.
Contoh 1.15.
(Z₄ , Å)  adalah group dan B = {0 , 2} adalah subgroup dari  (Z₄ , Å).  Koset kiri dari  B  adalah  a Å B untuk setiap  a Î Z₄   :   0 Å B = {0 , 2} , 1 Å B = {1 , 3} , 2 Å B = {0 , 2} , dan 3 Å B = {1 , 3}. Jadi, koset kiri dari B adalah {0,2} dan {1,3}. Koset kanan dari  B  adalah  B Å a untuk setiap a Î Z₄  : B Å 0 = {0 , 2}, B Å 1 = {1 , 3} , B Å 2 = {0 , 2} , dan B Å 3 = {1 , 3}. Jadi, koset kanan dari B adalah {0,2} dan {1,3}

Suatu subgroup (H,*) dari group (G,*) merupakan subgroup normal jika untuk setiap  a Î G berlaku  a*H = H*a   (koset kiri H = koset kanan H, untuk setiap anggota G).

Contoh 1.16.
B = {0 , 2} yang merupakan subgroup dari (Z₄ , Å) adalah subgroup normal dari (Z₄ , Å), karena untuk setiap  a Î Z₄ ,  a Å B = B Å a.
Himpunan koset dari subgroup normal H pada group (G, *) membentuk group kuosien di bawah operasi perkalian koset.
Contoh 1.17.
Koset dari B = {0 , 2} yang merupakan subgroup dari (Z₄,Å) adalah {0 , 2} dan {1 , 3}. Himpunan {{0 , 2}, {1 , 3}} membentuk group kuosien di bawah operasi perkalian koset.

Ä	{0 , 2}	{1 , 3}
{0 , 2}	{0 , 2}	{1 , 3}
{1 , 3}	{1 , 3}	{0 , 2}

Soal Latihan 1.3.

1. Tentukan subgroup siklik yang dibangun oleh  3 dari group (Z,+).
2. Operasi biner Ä  dari group (V, Ä) didefinisikan dalam bentuk tabel berikut.

Ä	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	b	c	e
b	b	c	e	a
c	c	e	a	b

• Tentukan subgroup siklik yang dibangun oleh setiap anggota V dan tentukan ordernya.
• Apakah V merupakan group siklik ? Jelaskan !

3.    Himpunan bilangan kelipatan 3 merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat Z. Diketahui bahwa (Z,+) adalah sebuah group abel. Selidiki apakah himpunan bilangan kelipatan 3 merupakan subgroup normal dari group (Z,+).  Jika ya, tentukan koset kiri dari himpunan tersebut.