Matematika Diskrit_BAB I STRUKTUR ALJABAR(operasi biner, sifat o.b,)

 

Matematika Diskrit

BAB I STRUKTUR ALJABAR

Disusun Oleh :

Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA.

1.1. OPERASI BINER

Operasi biner pada himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari S x S kepada S. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, x, *, · , Å(arti lambang sama dengan, + didalam lingkaran) , Ä(arti lambang sama dengan, x di dalam lingkaran) , dan sebagainya. Hasil dari sebuah operasi, misalnya Ä , pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a Ä b.

Contoh 1.1.

Operasi berikut adalah beberapa contoh operasi biner :

-. Operasi pembagian pada bilangan riil.

-. Warna rambut anak yang ditentukan oleh warna rambut orang tuanya.

-. Operasi biner Å yang didefinisikan sebagai   a Å b = a + b – 2ab.

1.2. SIFAT OPERASI BINER

Sifat-sifat yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.

Misalkan  *  dan  Å  adalah operasi biner.  Operasi * dikatakan :

• KOMUTATIF ,        jika  a * b = b * a, untuk setiap   a, b.
• ASOSIATIF,           jika  (a * b) * c  = a * (b * c), untuk setiap   a, b, c.
• Mempunyai :
  • IDENTITAS, jika terdapat  e  sedemikian hingga a * e = e * a = a, untuk setiap a.
  • IDENTITAS KIRI, jika terdapat e₁ sedemikian hingga e₁ * a = a, untuk setiap a.
  • IDENTITAS KANAN, jika terdapat e₂ sedemikian hingga a * e₂ = a, untuk setiap a.
  • Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap  a  terdapat  a^-1  sedemikian hingga      a * a^-1 = a^-1 * a = e, dimana  e adalah elemen identitas untuk operasi  *. a^-1 disebut invers dari elemen  a.
• DISTRIBUTIF terhadap operasi  Å , jika untuk setiap a, b, c  berlaku  a * (b Å c ) = ( a * b) Å (a * c)  dan  (b Å c ) * a = ( b * a) Å (c * a).

Contoh 1.2.

Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena untuk sembarang bilangan  x  dan  y berlaku  x+y = y+x. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x+y)+z = x+(y+z). Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0 (nol). Invers penjumlahan untuk sembarang bilangan p adalah –p, karena  p+(-p)=0.

Contoh 1.3.

1. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap bilangan  a, b dan c  berlaku    a x (b+c) = (a x b) + (a x c) dan    (b + c) x a = (b x a) + (c x a).
2. Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat   p, q  dan  r  dimana  p + (q x r)  ¹  (p + q) x (p + r). Sebagai contoh    2 + (3 x 4)  ¹ (2 + 3) x (2 + 4).

Himpunan  S  dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner * ,  jika untuk setiap  a, b Î S  berlaku  a * b Î S

Contoh 1.4.

1. Himpunan bilangan bulat  Z  tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk setiap  x, y Î Z berlaku  x + y Î Z.
2. Himpunan bilangan bulat  Z  tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena terdapat   2, 3 Î Z  dimana  2 : 3 Ï Z.

Soal Latihan 1.1.

1. Tunjukkan bahwa himpunan bilangan genap tertutup terhadap operasi penjumlahan.
2. Tunjukkan bahwa operasi penjumlahan bersifat asosiatif pada himpunan bilangan kelipatan 2.
3. Misalkan A adalah himpunan bilangan asli. Operasi biner * didefinisikan pada himpunan tersebut. Selidiki sifat asosiatif operasi biner yang didefinisikan sebagai berikut :
   1. a * b = a + b + 3.
   2. a * b = a + b – 2ab.
   3. a * b = a + 2b.
   4. a * b = max (a,b).
4. Misalkan (A,*) sebuah sistem aljabar dengan * operasi biner dimana untuk setiap a,b Î A berlaku  a * b = a. Tunjukkan bahwa  * bersifat asosiatif.