Aljabar Boolean II ( Lanjutan )

Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bⁿ ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai

                        f : Bⁿ ® B

yang dalam hal ini Bⁿ adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.

Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah

f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z

Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3

(x, y, z) ke himpunan {0, 1}. 

Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga f(1, 0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Aljabar Boolean

Misalkan terdapat

-          Dua operator biner: + dan ×

-          Sebuah operator uner: ’.

-          B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, ×, dan ’

-          0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.

Tupel

                        (B, +, ×, ’)

disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c Î B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:

1.      Closure:                      (i)  a + b Î B

                                                           (ii) a × b Î B

2.      Identitas:                     (i)  a + 0 = a

                                              (ii) a × 1 = a

3.      Komutatif:                  (i)  a + b = b + a

                                                          (ii)  a × b = b . a

4.      Distributif:                   (i)   a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

                                                           (ii)  a + (b × c) = (a + b) × (a + c)

5.      Komplemen:                (i)  a + a’ = 1

                                                           (ii)  a × a’ = 0